Innehåll
- stadier
- För att börja
- Metod 1 Fortsätt med test och fel
- Metod 2 Fortsätt med sönderdelning
- Metod 3 "Triple-spelet"
- Metod 4 Skillnad mellan två rutor
- Metod 5 Använda den kvadratiska formeln
- Metod 6 Använda en kalkylator
Ett polynom består av en variabel (x) höjt till en viss kraft som kallas graden av polynomet och flera andra termer av lägre grader och / eller flera andra konstanter. Att faktorisera ett polynom av den andra graden (även kallad "kvadratisk ekvation") betyder att reducera det initiala uttrycket till en produkt av uttryck av mindre grader som sedan kan multipliceras en med den andra. Denna kunskap är en del av gymnasiet och mer, så den här artikeln kan vara svår att förstå om du ännu inte har den nödvändiga nivån i matematik.
stadier
För att börja
-
Skriv ditt uttryck. Standardformen för en andra gradsekvation är:ax + bx + c = 0
Börja med att ordna villkoren för din ekvation i enlighet med kraften, från den största till den minsta, som i standardformen. Ta till exempel:6 + 6x + 13x = 0
Vi kommer att ordna om detta uttryck för att underlätta arbetet genom att helt enkelt flytta termerna:6x + 13x + 6 = 0. -
Hitta den fakturerade formen med hjälp av en av metoderna som förklaras nedan. Faktoriseringen kommer att ge två kortare uttryck som ger det initiala polynomet om vi multiplicerar dem med varandra:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I detta exempel är (2x +3) och (3x + 2) faktorer av det initiala uttrycket, 6x + 13x + 6. -
Kontrollera ditt arbete! Multiplicera de faktorer du har identifierat. Sedan kombinerar du liknande termer så kommer du att göra det. Börja med:(2x + 3) (3x + 2)
Låt oss börja testa detta uttryck genom att multiplicera termerna för de två uttrycken för att få:6x + 4x + 9x + 6
Därifrån kan vi lägga till 4x och 9x eftersom de är villkor i samma grad. Vi vet då att våra faktorer är korrekta eftersom vi faller väl på uttrycket för avresa:6x + 13x + 6.
Metod 1 Fortsätt med test och fel
Om du har att göra med en ganska enkel polynom, bör du kunna hitta dess nedbrytning som en faktorprodukt på ett ögonkast. Till exempel kan många matematiker se det uttrycket 4x + 4x + 1 ger faktorerna (2x + 1) och (2x + 1) efter vana och med erfarenhet (uppenbarligen är detta inte så enkelt när det gäller komplexa polynomier). För det här exemplet, låt oss ta ett mindre vanligt uttryck:
.
-
Gör en lista över koefficientfaktorer har och c. Använd formulärets uttryck ax + bx + c = 0, identifiera koefficienterna har och c och lista motsvarande faktorer. För: 3x + 2x - 8 ger detta:a = 3 och har bara ett par faktorer: 1 * 3 c = -8 och fyra faktorpar: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 och -1 * 8. -
Skriv två papperparenteser på papperet med plats för att skriva inuti dem. Du kommer att ange konstanterna för varje uttryck i det tillhandahållna utrymmet:(x) (x). -
Innan x, skriv ett par möjliga faktorer för koefficienten har. För koefficienten har i vårt exempel, 3x, finns det bara en möjlighet:(3x) (1x). -
Fyll sedan i de två återstående tomma utrymmena med ett par faktorer för koefficienten c. Ta till exempel 8 och 1. Skriv ner dem:(3x8) (X1). -
Bestäm nu skylten (mer eller mindre) för att placera mellan x och numret du placerade efter honom. Enligt tecknet på det ursprungliga uttrycket är det möjligt att hitta vad som ska vara konstanternas tecken. samtal h och k konstanterna för våra faktorer:Om ax + bx + c då (x + h) (x + k) Om ax - bx - c eller ax + bx - c då (x - h) (x + k) Om ax - bx + c då (x - h) (x - k)
I vårt exempel, 3x + 2x - 8, måste skyltarna placeras på följande sätt: (x - h) (x + k), vilket ger oss följande två faktorer:(3x + 8) och (x - 1). -
Kontrollera din fakturerade form genom att utveckla om den. Ett första snabbtest är att kontrollera om mellantermen har rätt värde. Om x inte är bra, kanske du har valt fel faktorer för koefficienten c. Låt oss kolla våra resultat:(3x + 8) (x - 1)
Genom att göra en multiplikation får vi:3x - 3x + 8x - 8
Att lägga till liknande termer (-3x) och (8x) för att förenkla detta uttryck, vi får:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi vet nu att vi förmodligen har identifierat fel faktorer:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Utbyt om nödvändigt dina val av faktorer. Låt oss i vårt exempel prova 2 och 4 istället för 1 och 8:(3x + 2) (x - 4)
Nu vår koefficient c är -8, men multiplikationerna (3x * -4) och (2 * x) ger -12x och 2x, som dessutom inte alltid ger initialvärdet för b, det är + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Omvänd, omvänd ordningen. Vi inverterar i vårt exempel platsen för 2 och 4:(3x + 4) (x - 2)
Nu koefficienten c är alltid bra, men koefficienterna för termerna i x är värda denna tid -6x och 4x. När den har lagts till ger detta:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Vi är mycket nära det ursprungliga värdet på 2x som vi försöker hitta, men skylten är inte bra. -
Kontrollera skyltarna om det behövs. Vi kommer nu att behålla samma ordning, men vi kommer att byta ut tecken:(3x - 4) (x + 2)
Koefficienten före c är alltid bra, och termerna i x är nu värda (6x) och (-4x). eftersom:6x - 4x = 2x 2x = 2x Så vi får de 2x som vi ursprungligen hade. Så vi hittade förmodligen rätt faktorer.
Metod 2 Fortsätt med sönderdelning
Med denna metod kan vi identifiera alla möjliga faktorer för att få koefficienterna har och c och använd dem för att identifiera vilka faktorer som är rätt. Om siffrorna är mycket stora eller de andra test- och felmetoderna verkar för långa, kan du använda den här metoden. Ta följande exempel:
.
-
Multiplicera koefficienten har av koefficienten c. I vårt exempel, har är lika med 6 och c är också lika med 6.6 * 6 = 36. -
Hitta koefficienten b genom att fakturera och sedan testa de erhållna faktorerna. Vi letar efter två nummer som är faktorer för produkten har * c som vi har identifierat och vars summa är värt värdet på koefficienten "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Presentera de två siffrorna du just har fått i din ekvation; placera dem framför x, så att summan är lika med koefficienten b. Låt oss ta bokstäverna k och h för att representera de två erhållna siffrorna, 4 och 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Faktorera ditt polynom genom att gruppera. Organisera ekvationen för att hitta den största gemensamma faktorn för de två första termerna och den största gemensamma faktorn för de två senaste termerna. Du ska då få en summa av två identiska fakturerade former. Sätt samman de två koefficienterna och lägg dem i parentes framför din faktorerade form. du får då dina två faktorer:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metod 3 "Triple-spelet"
Den här metoden är mycket lik den föregående. Detta består av att undersöka de möjliga faktorerna för koefficienternas produkter har och c, använd dem sedan för att hitta värdet på b. Ta till exempel följande ekvation:
-
Multiplicera koefficienten har av koefficienten c. Liksom med sönderdelningsmetoden kommer detta att hjälpa oss att identifiera potentiella kandidater för koefficienten b. I vårt exempel, har är lika med 8 och c är värt 2.8 * 2 = 16. -
Hitta de två siffrorna vars produkt är det nummer som just hittades tidigare (16) och vars summa ger koefficienten "b". Detta steg är identiskt med nedbrytningsmetoden - det vill säga vi testar och avvisar kandidater till konstanter. Produkten av koefficienterna har och c är lika med 16 och koefficienten c är lika med 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Ta dessa två siffror och ersätt dem i formeln "triple play". Ta de två siffrorna från föregående steg - låt oss ringa dem h och k - och introducera dem i följande uttryck:((ax + h) (ax + k)) / a
Vi får då:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Hitta vilka av de parentetiska uttryck i telleren som kan delas med koefficienten har. I det här exemplet testar vi om (8x + 8) eller (8x + 2) kan delas med 8. (8x + 8) kan delas med 8, då delar vi detta uttryck med har och lämna det andra uttrycket som det är.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Det uttryck vi behåller här är det som återstår efter delning av koefficienten har : (x + 1). -
Hitta - om det finns - en större vanlig faktor i båda parenteserna. I vårt exempel har det andra uttrycket en större gemensam faktor på 2, eftersom 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinera det här svaret med uttrycket du hittade i föregående steg. Du har alltså funnit de två faktorerna för ditt polynom.2 (x + 1) (4x + 1).
Metod 4 Skillnad mellan två rutor
Vissa koefficienter för polynomema kan identifieras som "kvadrater", det vill säga som produkterna för multiplikationen av två siffror. Genom att identifiera dessa rutor kan du fakturera vissa polynomier mycket snabbare. Ta till exempel ekvationen:
-
Börja med att ta upp allt till en större gemensam faktor om det är möjligt. I vårt exempel ser vi 27 och 12, som båda kan delas med 3, så att vi kan "spränga" det första uttrycket på följande sätt:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifiera om koefficienterna för din ekvation är kvadratiska siffror. För att använda den här metoden, bör du kunna hitta fyrkantiga rötter för dina koefficienter (Observera att vi inte tar hänsyn till negativa tecken - eftersom vi har att göra med rutor kan de vara produkten av två positiva siffror eller negativ)9x = 3x * 3x och 4 = 2 * 2. -
Använd dina fyrkantiga rötter och skriv dina faktorer. Ta värdena på har och c hittades tidigare - har = 9 och c = 4 - innan du hittar sin kvadratrot - √har = 3 och √c = 2. Dessa kommer att vara koefficienterna för våra faktorerade uttryck:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metod 5 Använda den kvadratiska formeln
Om alla ovanstående metoder har misslyckats och du inte kan hitta rätt faktorer för din ekvation, använd den kvadratiska formeln. Ta följande exempel:
-
Ta värdena på koefficienterna "a", "b" och "c" och ersätt dem i följande kvadratiska formel:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får då uttrycket:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Lös ekvationen för att hitta x. Som du kan se ovan bör du få två värden på x:
x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3). -
Använd värdet på x för att hitta faktorerna. Ange värden på x som tidigare erhållits som konstanter för de två polynomiska uttryck. Det här är dina faktorer. samtal h och k värdena på x och skriv de två fakturerade formerna:(x - h) (x - k)
I detta fall är slutresultatet:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metod 6 Använda en kalkylator
Om du får använda en grafisk kalkylator ska du vara medveten om att detta i hög grad underlättar din uppgift, särskilt under tentamen. Dessa instruktioner är endast giltiga för grafiska kalkylatorer av varumärket Texas Instrument. Ta till exempel följande ekvation:
-
Ange din ekvation i kalkylatorn. Du måste använda "resolver-ekvationen", det vill säga skärmen. -
Gör en grafisk representation av din ekvation på kalkylatorn. När du har angett ekvationen trycker du på - så ska du se den grafiska representationen av kurvan visas (mer exakt kommer du att få en "båge" eftersom du arbetar med polynom). -
Hitta skärpunkterna mellan ljusbågen och x-axeln (x). Eftersom polynomekvationer traditionellt skrivs i formen: ax + bx + c = 0, är dessa de två värdena för x som uttrycket är lika med noll:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Om du inte kan läsa värdena för var din kurva korsar x-axeln, tryck sedan på. Tryck på eller välj "noll". Flytta markören till vänster om en av korsningarna och tryck på. Flytta sedan markören till höger om denna korsning och tryck igen. Flytta sedan markören så nära korsningen som möjligt och tryck igen. Kalkylatorn hittar värdet på x. Gör samma sak nästa för den andra korsningen.
-
Slutligen inför de x-värden som erhölls i föregående steg i ett tvåfaktorsuttryck. Om vi ringer h och k våra två värden på x, kommer vi sedan använda följande uttryck:(x - h) (x - k) = 0
Och så kommer vi att få följande två faktorer:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- En penna
- papper
- En andra gradsekvation (eller kvadratisk ekvation)
- En grafisk kalkylator (valfritt)