Innehåll
- stadier
- Del 1 Lärande att faktorisera x + bx + c
- Del 2 Lärande att faktorera mer komplicerade trinomialer
- Del 3 Några speciella fall av trinomialiseringar
Som namnet antyder är en trinomial ett matematiskt uttryck som tar formen av en summa av tre termer. Oftast börjar vi studera trinomialerna i den andra graden som således prenumererar: ax + bx + c. Det finns flera sätt att faktorisera en trinomial av den andra graden. Med träning kommer du dit utan problem. Metoderna vi ska se gäller inte trinomialerna i högre grad (med x eller x). Men genom att arbeta dessa sista trinomialer kan man falla tillbaka på trinomialer av den andra graden. Vi ser allt detta i detalj.
stadier
Del 1 Lärande att faktorisera x + bx + c
-
Använd SIDS-metoden. Du kanske känner till det, men låt oss komma ihåg vad det handlar om. När du måste utveckla en produkt av binomialer - (x + 2) (x + 4), till exempel - måste du summera produkterna med de olika termerna i ordningen "Först, extern, intern, sista". I detalj ger detta:- multiplicera först villkor mellan dem:x+2)(x+4) = x + __
- multiplicera villkoren extern mellan dem: (x2) (x +4) = x + 4x + __
- multiplicera villkoren intern mellan dem: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
- multiplicera senaste termer mellan dem: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
- Avsluta med att förenkla: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8
-
Förstå vad faktorisering är. När du utvecklar produkten från två par får du en trinomial av formen: harx +bx +c, a, b och c är verkliga siffror. När vi gör omvänd operation, gå från trinomial till binomialprodukt, säger vi att vi factorises.- För tydlighetens skull måste termerna för en trinom rangordnas i följd av minskande kraft. Så om vi ger dig: 3x - 10 + x, måste du skriva om för att: x + 3x - 10.
- Den största exponenten är 2 (x), vi talar om "andra grad" trinomial.
-
I början av faktoriseringen satte vi produktformen för binomialer. Skriv: (__ __)(__ __). Vi kommer gradvis att fylla utrymmen som är kvar, liksom skyltarna.- För tillfället sätter vi inget tecken (+ eller -) mellan de två termerna i binomialerna.
-
Du måste börja med att hitta de första termerna för varje par. Om din trinomial börjar med x kommer de två första termerna av paren nödvändigtvis x och xeftersom x gånger x = x.- Vår utgående trinomiala varelse: x + 3x - 10 och eftersom det inte finns någon koefficient vid x, kan vi omedelbart skriva:
- (x __) (x __)
- Vi kommer senare att se hur man fortsätter när koefficienten x skiljer sig från 1, som 6x eller -x. För tillfället står vi kvar med detta enkla fall.
-
Försök att gissa vad parens sista termer kommer att vara. Granska hur de senaste termerna med binomialerna med PEID-metoden har utvecklats. Vi måste nu göra det motsatta. Vi multiplicerade sedan de två sista termerna för att få den sista termen ("konstant") av trinomialet. Så du måste hitta två siffror som multipliceras mellan dem ger dig konstanten för trinomialet.- I vårt exempel: x + 3x - 10 är konstanten -10.
- Vilka är faktorerna -10? Vilka är de två siffrorna som multipliceras mellan dem ger dig -10?
- Här är alla möjliga fall: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 och 2 x -5. Skriv dessa kombinationer någonstans så att du kommer ihåg.
- För tillfället förblir din binomialprodukt oförändrad. Han ser alltid ut: (x __) (x __).
-
Testa de olika kombinationerna. Från konstanten har du lyckats identifiera några kombinationer av faktorer som man måste arbeta (om trinomialet är reducerbart). För närvarande finns det inga andra lösningar än att testa varje kombination för att se om en av dem uppfyller trinomialet. Till exempel:- I vårt exempel måste summan av produkten "Extern" och produkten "Intern" vara 3x (hämtad från x + 3x - 1)
- Ta kombinationen av -1 och 10: (x - 1) (x + 10). Summan av produkten "Extern" och produkten "Intern" ger: 10x - x = 9x. Det fungerar inte!
- Ta kombinationen 1 och -10: (x + 1) (x - 10). Summan av produkten "Extern" och produkten "Intern" ger: -10x + x = -9x. Det går fortfarande inte! Du kommer att märka vid tiden att den sista kontrollen var värdelös. I själva verket ger paret (-1.10) 9x och paret (1, -10) ger -9x. Så testa bara ett par.
- Ta kombinationen -2 och 5: (x - 2) (x + 5). Summan av produkten "Extern" och produkten "Intern" ger: 5x - 2x = 3x. Eureka! Svaret är: (x - 2) (x + 5).
- När det gäller trinomer som är så enkla som den här (börjar med x) kan vi göra kortare. Lägg bara till de två potentiella faktorerna, lägg till "x" i slutet så ser du direkt om det är rätt kombination. Där gör du: -2 + 5 → 3x. Om x är flankerad av en koefficient, fungerar metoden inte, varför det är bra att komma ihåg den detaljerade metoden.
Del 2 Lärande att faktorera mer komplicerade trinomialer
-
Faktorera din trinomial till en enklare trinomial. Anta att du måste faktorisera följande trinomial: 3x + 9x - 30. Försök se om det inte finns en delare som är gemensam för alla tre termerna. Vi tar sedan den största (om det finns flera), från vilken namnet "Most Great Common Divisor" (eller PGCD). I vårt trinomial kommer det att vara 3. Låt oss se detta i detalj:- 3x = (3) (x)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- Således 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Därför är det lätt att faktorera den andra parentesen enligt metoden som beskrivs ovan. Vi får följande: (3) (x-2) (x + 5). Vi får inte glömma 3 sätta i faktor.
-
Ibland kan vi inte fakturera faktorer, men mängder med okända. Således kan vi faktor i "x", "y" eller "xy". Här är några exempel:- 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
- x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
- -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
- Sedan faktumera naturligtvis det nya trinomet som vi såg tidigare. Kontrollera om det inte finns några fel. Öva med de övningar som föreslås i slutet av denna artikel.
-
Försök att faktorisera trinomer med en x flankerad av en koefficient. Vissa trinomialer av den andra graden är svårare att faktorisera, bilden av 3x + 10x + 8. Vi får se hur vi går framåt, sedan vad du kan träna med de övningar som föreslås i slutet av artikeln. Så här fungerar vi:- Fråga produkten från par: (__ __)(__ __)
- Var och en av de två "första" termerna måste ha ett "x" och produkten från båda måste vara 3x. Det finns bara en möjlighet: (3x __) (x __), 3 är ett primtal.
- Hitta faktorerna för 8. Det finns två möjligheter: 1 x 8 eller 2 x 4.
- Ta dessa kombinationer för att hitta parternas konstanter. Viktig punkt: eftersom den okända "x" har olika koefficienter är kombinationens ordning viktig. Du måste hitta slutet på mitten, här, 10x. Här är de olika kombinationerna:
- (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x nej!
- (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nej!
- (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nej!
- (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja! Detta är rätt faktorisering.
-
I närvaro av en okänd med en makt större än 2 kan man skapa en okänd substitution. En dag kommer du säkert att behöva faktorisera en trinomial av den fjärde (x) eller den femte graden (x). Målet är att föra tillbaka denna trinomial till något känt, det vill säga ett trinomial av den andra graden för att faktorisera utan problem. Till exempel:- x + 13x + 36x
- = (x) (x + 13x + 36)
- Uppfinna en ny okänd som kommer att förenkla problemet. Vi sätter här att Y = x. Vi sätter ett kapital Y för att komma ihåg att det är ett surrogat. Trinomialet blir då:
- = (x) (Y + 13Y + 36): vi faktoriserar som i del 1.
- = (x) (Y + 9) (Y + 4). Det är dags att ersätta den okända substitutionen med dess verkliga värde:
- = (x) (x + 9) (x + 4)
- = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)
Del 3 Några speciella fall av trinomialiseringar
-
Leta efter möjliga primtal. Se om konstanten och / eller koefficienten för den första eller tredje termen inte skulle vara primtal. Kom ihåg att ett tal sägs vara "prime" när det bara kan delas med 1 eller sig själv. Utifrån denna definition, om vi hittar ett primtal på de platser som anges ovan, kan trinomialet bara faktor i form av en enda produkt av binomialer.- Till exempel i x + 6x + 5, konstanten 5 är ett primtal, så binomialprodukten kommer att ha formen: (__ 5) (__ 1)
- I 3x + 10x + 8, koefficienten 3 är ett primtal, så produkten av binomialer kommer att ha formen: (3x __) (x __).
- Slutligen i 3x + 4x + 1, 3 och 1 som primtal är den enda möjliga lösningen: (3x + 1) (x + 1). Kontrollera dock alltid kombinationen. Det händer att vissa treeningar inte kan tas upp. Således kan 3x + 100x + 1 inte tas med (vi säger att det är "irreducible"). Med 3 och 1 får du aldrig 100.
-
Man måste alltid tänka på fallet med en trinom som skulle vara utvecklingen av en anmärkningsvärd identitet, ett perfekt torg för att bara ta detta exempel. Med perfekt kvadrat menar vi produkten av två perfekt identiska par: (x + 1) (x + 1) som vi skriver (x + 1). Här är några av dessa perfekta rutor:- x + 2x + 1 = (x + 1) och x - 2x + 1 = (x - 1)
- x + 4x + 4 = (x + 2) och x - 4x + 4 = (x - 2)
- x + 6x + 9 = (x + 3) och x - 6x + 9 = (x - 3)
- En trinomial harx + bx + c är utvecklingen av ett perfekt torg om har och c är själva positiva rutor (som 1, 4, 9, 16, 25 ...) och om b (positiv eller negativ) är lika med 2 (√a x √c) = 2 √ac.
-
Se om det är möjligt att faktorisera. II är faktiskt trinomialer som inte kan tas upp. Om du kämpar för att faktorera en trinomial av den andra kanoniska formen ax + bx + c, eftersom det inte finns några uppenbara rötter, måste du använda discriminant-metoden. Det senare beräknas enligt följande: Δ = √b - 4ac. Om Δ <0, kan trinomialet inte tas med.- För trinomials som inte är andra grad, använd Eisenstein-kriteriet som förklaras i avsnittet "Tips".